機器之心報道
機器之心編輯部
《老友記》中的羅斯終於能把沙發搬進屋了。
生活中處處充滿數學，比如在經典美劇《老友記》中，羅斯要搬家，卻在和瑞秋抬沙發上樓梯扶手時翻了車。這涉及了數學領域一個著名的未解決難題 —— 移動沙發問題（the moving sofa problem）。
來源：《老友記 S05E16》
該問題是由加拿大數學家 Leo Moser 於 1966 年正式提出：在寬度為 1 的 L 形平面走廊中，能夠透過一個直角轉彎的「沙發」的最大面積是多少？
1968 年，數學家 John Michael Hammersley 提出了一種簡單的解法。他將沙發設計成類似於一個電話聽筒的形狀，由兩個四分之一圓和一箇中間的矩形塊組成，中間的矩形塊中挖去了一個半圓形，從而得出的沙發最大面積為 2.2074。
但遺憾的是，這並不是最優解。
1992 年，美國數學家 Gerver 在 Hammersley 沙發的基礎上進行了改進，算出的最大沙發面積為 2.2195，雖然比 Hammersley 沙發面積略大一些，但在方法上卻聰明得多。
Gerver 沙發由 18 條不同的曲線段組成，其中包括圓弧、圓的漸開線以及圓的漸開線的漸開線等多種曲線。每條曲線段都由一個單獨的解析表示式描述，這使得 Gerver 沙發在數學上非常複雜。
Gerver 推測他的解決方案是最優的，但他無法證明他的沙發是唯一一個（並且是最大面積的）滿足這個強條件的沙發。
2024 年 12 月 2 日，韓國學者 Jineon Baek 發表了一篇新論文，聲稱證明了 Gerver 確實是正確的 —— 他的沙發是最優的。這項研究在社交媒體（如 x）上的熱度非常高，引起了很多人的關注。
圖源：x@Scientific_Bird
圖源：x@morallawwithin
不過，Jineon Baek 的證明論文足足有 119 頁，題目為《Optimality of Gerver’s Sofa》。相關專家驗證證明的正確性還需要一些時間。
論文地址：https://arxiv.org/pdf/2411.19826
這道困擾人類 58 年的數學難題終於有了答案，不少網友也發表了自己的看法。
「我甚至不是數學家，自從 20 年前聽說這個問題後，我就一直在思考它。每次我需要把東西透過門時，我都會想到這個問題。」
「我沒想到這個形狀會是最優的，這 18 個部分看起來不夠優雅。」
證明過程簡述
論文共分 8 章，目錄如下：
摘要只有一句話，「透過證明具有 18 個曲線段的 Gerver 沙發的確達到了最大面積 2.2195，進而解決了移動沙發問題」。
下圖為 Gerver 的沙發 G。刻度表示構成 G 邊界的 18 條解析曲線和線段的端點，包含 G 的支撐走廊 L_t 在右側以灰色表示。
在證明 Gerver 的沙發 G 達到最大面積的過程中，作者除了在科學計算器上進行數值計算之外，沒有使用任何的計算機輔助。下圖 1.3 為從走廊（頂部）和沙發（底部）視角來看移動沙發的移動。
下面為作者要證明的定理 1.1.1。
這個問題之所以很難，是因為沒有一個通用的公式可以計算所有可能的移動沙發面積。因此，為了解決這個問題，作者證明了最大面積的移動沙發 S_max 的一個屬性，被稱為可注入性條件（injectivity condition）。
對於每個滿足條件的移動沙發 S，作者將定義一個更大的形狀 R，它類似於 Gerver 沙發的形狀（下圖 1.2）。那麼 R 的面積 Q (S) 就是 S 面積的上限，如果是 Gerver 沙發 G，則 Q (S) 與 S 的精確面積相匹配。S 的可注入性條件確保區域 R 的邊界形成 Jordan 曲線，從而能夠使用格林定理計算 Q (S)。
然後，移動沙發 S 面積的上界 Q (S) 相對於 S 的最大值如下所示：作者使用 Brunn-Minkowski 理論將 Q 表示為凸體元組 (K,B,D) 空間 L 上的二次函式（上圖 1.2），並使用 Mamikon 定理建立 Q 在 L 上的全域性凹性（下圖 1.13）。
作者使用加州大學戴維斯分校數學系教授 Dan Romik [Rom18] 關於 Gerver 沙發 G 的區域性最優方程，來證明 S = G 區域性最大化 Q (S)。由於 Q 是凹的，因此 G 也全域性最大化 Q。並且，由於上界 Q 與 G 處的面積相匹配，因此沙發 G 也全域性最大化了面積，從而證明定理 1.1.1。
具體來講，定理 1.1.1 的完整證明分為以下三個主要步驟：
步驟 1 ：限制最大面積移動沙發 S_max 的可能形狀；步驟 2 ：建立 S_max 的可注入性條件；步驟 3 ：構建滿足可注入性條件的移動沙發 S 面積的上界 Q (S)，並最大化關於 S 的 Q (S)。
作者提供了步驟 1、2、3 的更細分步驟。
其中步驟 1-(a) 將 S_max 的可能形狀縮小為單調沙發（monotone sofa），即由支撐走廊內角雕刻出的凹痕的凸體（下圖 1.4）。
步驟 1-(b) 重新證明了 Gerver 的一個重要區域性最優條件，即 S_max 的邊長應該相互平衡（定理 1.3.1）。
由於 Gerver 的原始證明存在邏輯漏洞，沒有解決移動沙發的連通性問題，因此作者引入了新的想法並重新進行了證明。步驟 1-(c) 使用前面的步驟和基本幾何來表明 S_max 在移動過程中旋轉了整整一個直角。
步驟 2 證明了 S_max 上的可注入性條件，這是之後建立上限 Q 的關鍵。它表明 L 內角 (0,0) 的軌跡在移動沙發的視角（參考系）中不會形成自環（下圖 1.9）。
為了證明 S_max 的這一條件，作者在 S_max 上建立了一個新的微分不等式（等式 (1.9)。該不等式受到了 Romik 的一個 ODE 的啟發，該 ODE 平衡了 Gerver 沙發的微分邊（等式 (1.8)）。
步驟 3-(a) 將所有移動沙發的空間 S 擴充套件為具有單射條件的凸體元組 (K,B,D) 的集合 L，使得每個 S 一一對映到 (K,B,D) ∈ L（但不一定到 L）。該凸體描述了包圍 S 的區域 R 的不同部分（上圖 1.2）。
步驟 3-(b) 定義了擴充套件域 L 上的上界 Q。作者遵循 R 的邊界，並使用格林定理和 Brunn-Minkowski 理論中關於 K、B 和 D 的二次面積表示式來表示其面積 Q。同時使用單射條件和 Jordan 曲線定理嚴格證明 Q (K,B,D) 是 S 面積的上界。
步驟 3-(c) 使用 Mamikon 定理確定 Q 在 L 上的凹度（上圖 1.13）。步驟 3-(d) 計算由 Gerver 沙發 G 產生的凸體 (K,B,D) ∈ L 處 Q 的方向導數。Romik [Rom18] 在 G 上的區域性最優 ODE 用於表明方向導數始終為非正值。這意味著 G 是 Q 在 L 中的區域性最優值。Q 在 L 上的凹度意味著 G 也是 Q 在 L 中的全域性最優值。由於 G 處 Q 的值與面積匹配，沙發 G 也全域性最大化了面積，最終完成定理 1.1.1 的證明。
更具體的證明細節請參考原論文。
作者介紹
這篇論文的作者 Jineon Baek，本科畢業於韓國浦項科技大學，博士期間就讀於美國密歇根大學安娜堡分校。現為韓國首爾延世大學的博士後研究員，導師是 Joonkyung Lee。
Jineon Baek2018 年講解關於非對角線 Erdős-Szekeres 凸多邊形問題影片截圖
他主要研究興趣是組合數學和幾何學中的最佳化問題，這類問題往往透過簡單卻有趣的表述，能夠吸引更廣泛的受眾。
他在人工智慧領域也發表過一些相關文章。他在醫學影象處理、教育資料探勘等領域發表了多篇會議和期刊論文，特別是在 X 射線 CT 影象去噪、考試分數預測、標準化考試準備推薦系統等方面有所貢獻。
查閱 Jineon Baek 發表過的文章，就會發現這已經不是他第一次研究移動沙發問題了。在今年 6 月他就移動沙發的上限問題進行了研究。在新文章釋出的 12 月 2 日當天，arxiv 上顯示，這篇論文提交了一個更新版本（v2），之後撤回了該版本。
現在，不少網友在網上討論《Optimality of Gervers Sofa》。
「非常直觀，正是大多數人會猜測的那樣。不過，我猜證明這一點要困難得多吧？」
「在現實生活中，答案取決於天花板的高度以及沙發是否帶有可傾斜的靠背。」
「對於沙發來說，這真的是一個糟糕的設計。」
你怎麼看這個移動沙發的最優解呢？
https://x.com/deedydas/status/1865060166322032764
https://x.com/Scientific_Bird/status/1865116279574528088
https://jcpaik.github.io/CV.pdf
