新智元報道
編輯：alan
【新智元導讀】在軟體工程頂會ESEC/FSE上，來自馬薩諸塞大學、和伊利諾伊大學厄巴納-香檳分校（UIUC）的研究人員發表了新的成果，使用LLM解決自動化定理證明問題。
Transformer的技能樹是越來越厲害了。
來自馬薩諸塞大學、谷歌和伊利諾伊大學厄巴納-香檳分校（UIUC）的研究人員發表了一篇論文，利用大語言模型自動生成定理的完整證明。
論文地址：https://arxiv.org/pdf/2303.04910.pdf
這篇工作以Baldur（北歐神話中雷神Thor的兄弟）命名，首次證明了使用Transformer生成全證明是可能的，並且當為模型提供額外的上下文時，還可以改進模型先前的證明。
文章發表於2023年12月在舊金山舉行的ESEC/FSE（ACM歐洲軟體工程聯合會議和軟體工程基礎研討會）上，並獲得了傑出論文獎（Distinguished Paper award）。
眾所周知，軟體存在bug（廢話），這在一般應用程式或者網站上問題不大，但對於比如加密協議、醫療裝置和太空梭等關鍵系統背後的軟體而言，必須確保沒有錯誤。
——一般的程式碼審查和測試並不能給出這個保證，這需要形式驗證（formal verification）。
對於formal verification，ScienceDirect給出的解釋為：
the process of mathematically checking that the behavior of a system, described using a formal model, satisfies a given property, also described using a formal model
指的是從數學上檢查，使用形式模型描述的系統行為，是否滿足給定屬性的過程。
簡單來說就是，利用數學分析的方法，透過演算法引擎建立模型，對待測設計的狀態空間進行窮盡分析的驗證。
形式化軟體驗證，對於軟體工程師來說是最具挑戰性的任務之一。例如CompCert，使用Coq互動式定理證明器驗證的C編譯器，是無處不在的GCC和LLVM等使用的唯一編譯器。
然而，手動形式驗證（編寫證明）的成本卻相當巨大，——C編譯器的證明是編譯器程式碼本身的三倍以上。
所以，形式驗證本身是一項“勞動密集型”的任務，研究人員也在探索自動化的方法。
比如Coq和Isabelle等證明助手，透過訓練一個模型來一次預測一個證明步驟，並使用模型搜尋可能的證明空間。
而本文的Baldur首次在這個領域引入了大語言模型的能力，在自然語言文字和程式碼上訓練，並在證明上進行微調，
Baldur可以一次就生成定理的完整證明，而不是一次一個步驟。
如上圖所示，僅使用定理語句作為證明生成模型的輸入，然後從模型中抽取證明嘗試，並使用Isabelle執行證明檢查。
如果Isabelle接受了證明嘗試而沒有錯誤，就說明證明成功；否則從證明生成模型中抽取另一個證明嘗試。
Baldur在6336個Isabelle/HOL定理及其證明的基準上進行評估，從經驗上證明了完整證明生成、修復和新增上下文的有效性。
另外，這個工具之所以叫Baldur，可能是因為當前最好的自動證明生成工具叫做Thor。
Thor的證明率更高（57%），它使用較小的語言模型結合搜尋可能證明空間的方法預測證明的下一步，而Baldur的優勢在於它能夠生成完整的證明。
不過Thor和Baldur兩兄弟也可以一起工作，這樣可能把證明率提升到接近66%。
自動生成完整證明
Baldur由Google的大語言模型Minerva提供支援，Minerva在科學論文和包含數學表示式的網頁上進行訓練，並對有關證明和定理的資料進行了微調。
Baldur可以與定理證明助手Isabelle合作，Isabelle對證明結果進行檢查。當給定一個定理陳述時，Baldur幾乎在41%的時間內能夠生成一個完整的證明。
為了進一步提高Baldur的效能，研究人員向模型提供了額外的上下文資訊（比如其他定義、或理論檔案中的定理陳述），這使證明率提高到47.5%。
這意味著Baldur能夠獲取上下文，並使用它來預測新的正確證明，——類似於程式設計師，當了解了相關方法和程式碼之後，他們更有可能修復程式中的錯誤。
下面舉個例子（fun_sum_commute定理）：
這個定理來自形式證明檔案中一個名為多項式的專案。
當人工編寫證明的時候，會區分兩種情況：集合是有限的或者不是有限的：
所以，對於模型來說，輸入是定理陳述，而目標輸出是這個人工編寫的證明。
Baldur認識到這裡需要歸納，並應用了一種特殊的歸納法則，稱為infinite_finite_induct，遵循與人類書面證明相同的總體方法，但更簡潔。
而因為需要歸納，Isabelle使用的Sledgehammer預設無法證明這個定理。
訓練
為了訓練證明生成模型，研究人員構建了一個新的證明生成資料集。
現有資料集包含單個證明步驟的示例，每個訓練示例包括證明狀態（輸入）和要應用的下一個證明步驟（目標）。
給定一個包含單個證明步驟的資料集，這裡需要建立一個新資料集，以便訓練模型一次預測整個證明。
研究人員從資料集中提取每個定理的證明步驟，並將它們連線起來以重建原始證明。
證明修復
還是以上面的fun_sum_commute為例，
Baldur首次生成的證明嘗試，在證明檢查器中失敗。
Baldur試圖應用歸納法，但未能首先將證明分解為兩種情況（有限集與無限集）。Isabelle返回以下錯誤訊息：
為了從這些字串中派生出一個證明修復訓練示例，這裡將定理陳述、失敗的證明嘗試和錯誤訊息連線起來作為輸入，並使用正確的人工編寫的證明作為目標。
上圖詳細介紹了訓練資料的建立過程。
使用證明生成模型，針對原始訓練集中的每個問題，對溫度為0的證明進行取樣。
使用校對助手，記錄所有失敗的校樣及其錯誤訊息，然後，繼續構建新的證明修復訓練集。
對於每個原始訓練示例，將定理語句、證明生成模型生成的（不正確的）候選證明以及相應的錯誤訊息連線起來，以獲得新訓練示例的輸入序列。
新增上下文
在定理陳述之前新增理論檔案的行，作為額外的上下文。比如下圖這樣：
Baldur中帶有上下文的證明生成模型，可以利用這些附加資訊。出現在fun_sum_commute定理語句中的字串，在這個上下文中再次出現，因此圍繞它們的附加資訊可以幫助模型做出更好的預測。
上下文可以是陳述（定理、定義、證明），還可以是自然語言註釋。
為了利用LLM的可用輸入長度，研究人員首先從同一個理論檔案中新增多達50個語句。
在訓練過程中，首先對所有這些語句進行標記化，然後截斷序列的左側以適應輸入長度。
上圖展示了有上下文和無上下文的生成模型的證明成功率與證明嘗試次數的關係圖。我們可以看出，具有上下文的證明生成模型始終優於普通生成模型。
上圖展示了不同尺寸和溫度模型的已驗證定理與推理成本之比。
我們可以看到生成模型的證明成功率，以及8B模型和62B模型的上下文與證明嘗試次數的關係。
具有上下文的62B證明生成模型優於具有上下文的8B模型。
不過，作者在這裡強調，由於這些實驗的成本較高，他們也無法調整超引數，62B模型如果經過最佳化可能會表現得更好。
參考資料：
https://arxiv.org/pdf/2303.04910.pdf
