高斯畫像 圖片來源：Wikipedia
約翰·卡爾·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauß，1777～1855）是世界上排名前三的偉大數學家，能與之相提並論的另外兩位分別是阿基米德和牛頓。
1993年版德國10馬克紙幣正面印有高斯的頭像
高斯一生在學術上有很多重要的貢獻，可也有不足之處被人批評，那就是他不喜歡教學生，從他寫的兩封信中可見一斑。
1802年，高斯寫信給奧爾伯斯說：“我真的不喜歡教課，……對真正有天賦的學生，他們絕不會依賴課堂上的傳授，而必是自修自學的……做這種不值得感謝的工作，唯一的代價是浪費了寶貴的時間。”高斯的數學知識和成就都是依靠自學獲得的，他認為有能力的學生也應該像他一樣透過自學學習知識，這是他不願教課的原因之一。
天才大師的成長經歷
高斯的家鄉在不倫瑞克（現為德國得克薩斯州的一部分），這所房子就是高斯出生的地方，在二戰的時候被炸燬。圖片來源：Wikipedia
1792年，年僅15歲的高斯到卡洛琳學院學習。他在3年的時間裡透過閱讀尤拉和勒讓德等人的文章和著作學到了很多知識，也有很重要的發現：1791年，提出了算術幾何平均；1792～1793年，研究過素數分佈，提出了素數猜想；1794年，17歲的他就研究了最小二乘法，之後還常用此方法解決問題。
1795年，高斯進入著名的哥廷根大學學習，他研究了尤拉提出的二次互反律，並在1796年4月8日給出了第一個嚴格證明。19歲的他證明了正十七邊形可用圓規和直尺作圖。1801年，他的第一本著作《算術研究》出版了，此書被認為是現代數論研究的起點和數論的“憲章”。
1810年，高斯在給貝塞爾的信中說：“這個冬季我給3個學生開兩門課。這3個學生當中，一個只是中等水平，另一個不到中等水平，第三個既沒有水平又缺乏才能。這就是幹數學這一行的負擔。”從信中可看出高斯對學生的水平有多不滿意。可他沒有意識到，他本人是一個自學能力很強的天才，而大多數學生是普通人，需要有人授課和給予指導。
從高斯的成長經歷，我們理解了他不喜歡教書的原因，同時也看到天才大師對學生的要求總是很高的。雖然高斯教的學生不多，可學生們並沒有讓老師失望，他的弟子都是非常優秀的數學家，這裡只講其中的三位。
狄利克雷：高斯數論思想的解讀者和繼承人
約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷 圖片來源： Wikipedia
約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet，1805～1859）從小就喜歡學習數學，他把父母給他的零用錢用來買數學書。中學畢業時，父母希望他攻讀法律，可他卻偏要選擇學習數學。當時德國的數學除了高斯很有名外，水平不及法國。得知高斯不喜歡教學，1822年，狄利克雷決定去巴黎上大學，因為那裡有拉普拉斯、勒讓德和傅立葉等一批大數學家。1828年，狄利克雷在柏林軍事學院教書。他曾研究過費馬猜想，證明了n＝5和n＝14。
由於高斯寫的《算術研究》的思想太超前了，當時能讀懂此書的人不多。但狄利克雷非常喜歡讀這種有深刻思想的書，他總是把《算術研究》帶在身邊，一有空就認真研讀。在反覆讀了很久之後，他領會了其中的精髓，寫了一本《數論講義》，用通俗易懂的語言把書中的理論講給學生們聽，使學生能夠掌握。如果沒有狄利克雷作講解的話，高斯的那些深邃的思想是很難被更多的人認識和了解的。
狄利克雷不僅是高斯數論理論的傳承人，而且他也有自己的創造。1837年，他證明了數論歷史上的著名難題“給定任何兩個整數a，b，如果a，b互素，那麼由公式 f (n)＝an＋b生成的數列會包含無窮多個素數”，從而開創瞭解析數論。狄利克雷引進L函式和狄利克雷級數等一直是人們重點研究和關注的問題。他是繼高斯之後，與卡爾·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）齊名的德國數學家。
1855年高斯去世後，狄利克雷被邀請到哥廷根大學作為高斯的繼任者。1863年，狄利克雷的《數論講義》由他的學生和朋友戴德金編輯出版了，這個講義是對高斯《算術研究》的最好註釋，同時也包含了他在數論方面的創造性成果，成為數論的經典著作之一。
德國數學家赫爾曼·閔可夫斯基（Hermann Minkowski）在紀念狄利克雷誕辰一百週年的演講時說：“他掌握了把最多的看得見的思想和最少的盲目的公式連線起來的藝術。”歷史和現實都證明了狄利克雷在數學史上有長存的意義。
黎曼：高斯讚賞他的成就
伯恩哈德·黎曼 圖片來源：Wikipedia
伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann，1826～1866）比高斯整整小50歲。當他來到哥廷根大學時，雖然69歲的高斯已經過了顛峰期，可他依然像是一個神靈，給黎曼留下了深刻的印象。黎曼聽了高斯的線性代數課，也聽了狄利克雷的數論、斯特恩的方程論以及韋伯的物理課，受到這幾位老師深刻的影響。
黎曼的性格極為內向，很怕與人交往，因此他只與家人和一些數學家有來往。可在數學研究方面，他卻表現得十分勇敢，有很多大膽的創新思想。他以物理學為背景創立了黎曼幾何。他一生只發表了18篇文章，但每一篇都開闢了新的研究領域。他開創了複變函式論、代數函式論、常微分方程論及解析數論等方向；他在實分析、阿貝爾函式論和數學物理方程等方面都有重大的進展。
1849年，黎曼在哥廷根開始攻讀博士。1851年，他提交了《關於單複變函式一般理論基礎》的論文，獲得了博士學位。導師高斯對這篇博士論文給予了很高的評價：“黎曼先生的學位論文令人信服地表明作者在本文涉及的理論中進行了徹底而深刻的研究，顯示出作者富有真正創造性的、活潑的數學心智，取得了輝煌的、充滿獨創精神的成果。”
答辯會結束後，高斯還與威廉和韋伯議論此事，他讚歎“這是一項重大而有價值的成果，不僅符合對博士論文所要求的各項標準，而且遠遠超出了它們。”他平時對學生要求很高，很少稱讚學生，可黎曼的論文卻讓他很感動。這在高斯一生中是不多見的。
1859年，黎曼發表了“論小於一個給定值的素數的個數”的論文，這是他唯一一篇與數論有關的文章，提出了著名的黎曼猜想。
戴德金：被高斯精準預言了未來的發展
尤利烏斯·威廉·理查德·戴德金 圖片來源：Wikipedia
尤利烏斯·威廉·理查德·戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind，1831～1916）於1850年進入哥廷根大學學習。比黎曼小5歲的他，是高斯的最後一位學生。他聽過高斯最小二乘法和高等測量學的課，也聽了斯特恩的數論。他的博士論文《關於尤拉積分的理論》在1852年通過了評審。高斯寫的評語是：“戴德金先生準備的論文是關於積分學的一項研究，它絕不是一般的。作者不僅顯示出對有關領域具有充分的知識，而且這種獨創性也預示出他未來的成就。作為批准考試的試驗論文，我對這篇論文完全滿意。”有人將此評語與高斯對黎曼的評語相比較，認為高斯對戴德金評價不高，這是事實。可是如果仔細閱讀這個評語就會發現，其實高斯對戴德金未來的發展作出了精準的預言。
戴德金畢業後留校任教。他此前聽過狄利克雷的數論課，後來將狄利克雷在1856～1857年間寫的《數論講義》進行整理並編輯出版。在1871年此書第二版出版時，他發表了自己的域論及理想理論作為該書的附錄。1876～1877年，他發表了《代數整數論》，也作為1879年《數論講義》第三版的附錄，更完整的理論則作為1894年第四版的附錄。結果這本書的附錄比前面的正文還要長，這讓華羅庚羨慕不已。他在美國伊利諾依大學給學生們講了這個故事。1950年華羅庚返回中國前，學生們還記得老師對此書的熱愛，就買來這部書作為禮物送給了華羅庚。
黎曼是戴德金的師兄，兩人是很好的朋友。黎曼去世後，戴德金和韋伯編輯出版了《黎曼全集》。由此可見戴德金在繼承發揚老師們的學術思想方面的貢獻是非常大的，同時他在數的理論與抽象代數方面也有很重要的開創性的貢獻。他是繼承發揚前輩學術思想的一個典範，為後人樹立了好榜樣。
數論專家蘭道1917年在哥廷根舉辦的紀念戴德金的大會演講中，對他給予了極高的評價：“戴德金不僅是一位偉大的數學家，而且是從古到今整個數學史上真正傑出的人物。他是他那個時代的最後一位英雄，高斯的最後一位學生。他本人40多年來已是經典作家，不僅我們，甚至我們的老師乃至老師的老師都從他的工作中受到啟發。”
高斯一生治學嚴謹、追求完美與深刻的作風影響到了他的學生。弟子們也像老師一樣，以同樣的治學精神而努力著。
本文摘自《科學世界》2018年第2期。
作者 | 金雅芬
新媒體編輯 | 張麗君
來源：科學世界
原標題：科史鉤沉 | 高斯與他的學生們
編輯：Meyare
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