它告訴我們什麼？
它的外衣下就是牛頓第二運動定律。方程左側是小流體區域的加速度。右側是作用於它的力：壓強、應力和內部體積力。
為什麼重要？
它提供了一種非常準確的方法來計算流體的運動方式。這是無數科學和技術問題的關鍵特徵。
它帶來了什麼？
現代客機、快速而安靜的潛艇、以高速保持在賽道上的一級方程式賽車，以及針對靜脈和動脈血流的醫學進步。用於求解這一方程的計算機方法，稱為計算流體動力學（CFD），被工程師廣泛用於這些領域的技術改進。
來源 | 《改變世界的17個方程》
作者 | [英] 伊恩•斯圖爾特
譯者 | 勞佳
從太空看，地球是一個閃閃發光、藍白相間的美麗球體，有綠色和棕色的斑塊，與太陽系中的任何其他行星（或者現在已知的繞其他恆星旋轉的500多顆行星）都完全不同。“Earth”這個詞會立即讓你想到這一形象。然而在五十多年前，這個詞帶來的普遍印象是園藝裡說的“一抔泥土”。在20世紀之前，人們看著天空，思考著恆星和行星，但他們是站在地面上的。人類飛行只不過是一個夢想，是神話和傳說的主題。幾乎沒有人想到去另一個世界旅行。
一些勇敢的開拓者開始慢慢攀上天空。最早的是中國人。公元前500年左右，魯班發明了木鵲，可能是一種原始的滑翔機。公元559年，新帝高洋將廢帝的兒子元黃頭（違背了他的意願）綁在風箏上，讓他從高空偵察敵人。元黃頭倖存下來，但後來被處決了。隨著17世紀氫氣的發現，飛行的衝動傳播到歐洲，啟發一些勇敢的人乘氣球升入地球大氣層的下層。因為氫氣容易爆炸，1783年，法國兄弟約瑟夫–米歇爾·蒙戈爾菲耶（Joseph-Michel Montgolfier）和雅克–艾蒂安·蒙戈爾菲耶（Jacques-Etienne Montgolfier）公開展示了他們更安全的新想法——熱氣球。首先是無人駕駛試飛，然後是由艾蒂安駕駛飛行。
進步的速度和人類可以攀升的高度開始迅速提升。1903年，奧維爾（Orville）和威爾伯·萊特（Wilbur Wright）利用飛機進行了首次動力飛行。第一家航空公司DELAG（德國飛艇旅行公司）於1910年開始運營，使用齊柏林公司生產的飛艇載乘客從法蘭克福飛往巴登–巴登和杜塞爾多夫。到1914年，聖彼得堡–坦帕航線在佛羅里達州的兩個城市之間進行商業飛行，這一旅程在託尼·揚努斯（Tony Jannus）的“飛行船”上耗時23分鐘。商業航空旅行很快變得司空見慣，噴氣式飛機也隨之而來：德·哈維蘭“彗星”客機於1952年開始執飛定期航班，但金屬疲勞引發了多次墜毀。自1958年推出以來，波音707成為市場領導者。
如今，普通人達到8000米的高度已是司空見慣，這是他們目前的極限，至少在維珍銀河太空船開始低軌道飛行之前如此。軍用飛機和實驗飛機可攀升到更高的高度。太空飛行迄今還是個別遠見者的夢想，但也開始成為一個看似可行的主張。1961年，蘇聯宇航員尤里·加加林（Yuri Gagarin）在“東方一號”上首次實現載人環繞地球。1969年，美國國家航空航天局的“阿波羅11號”任務把兩名美國宇航員——尼爾·阿姆斯特朗（Niel Armstrong）和巴茲·奧爾德林（Buzz Aldrin）送上了月球。太空梭於1982年開始運營，雖然預算限制使其無法實現快速返回、可重複載人的最初目標，但它與俄羅斯的“聯盟號”宇宙飛船一起成為低軌道航天飛行的主力之一。“亞特蘭蒂斯號”太空梭已經完成了太空梭計劃的最後一次飛行，但已有新的運載工具（主要由私營公司製造）被納入計劃。歐洲、印度、中國和日本都有自己的太空計劃和部門。
人類的這種切實的“攀升”，改變了我們對自己是誰，以及我們生活在哪裡的看法——這也是“Earth”現在意味著這個藍白相間的地球的主要原因。也許正是這兩種顏色帶來了人類新獲得的這種飛行能力。藍色是水，白色是雲狀的水蒸氣。地球是一個水世界，有大洋、海、河流和湖泊。水最善於流動，而且往往流到不需要它的地方。流動可以是從屋頂上滴下的雨水，也可以是瀑布奔湧的急流。它可以是溫和平順的，也可以是洶湧湍急的——若沒有尼羅河，它平穩流經的地方將變為沙漠；但它的六大瀑布卻有著白浪翻湧的激流。
水（或者更普遍來說，任何流動的液體）形成的模式，引起了19世紀數學家的注意。當時他們得出了第一個關於流體流動的方程。飛行中的關鍵流體不如水那麼容易看到，但也一樣無處不在：空氣。空氣流在數學上更復雜，因為空氣可以被壓縮。透過修改方程以便應用於可壓縮流體，數學家提出的科學——空氣動力學讓飛行時代最終到來。早期的先驅者可能是根據經驗飛行，但商業客機和太空梭之所以成行，是因為工程師已經完成了使之安全可靠的計算（除非發生偶然事故）。飛機設計需要深入瞭解流體流動的數學。流體動力學的先驅是著名數學家萊昂哈德·尤拉，他在蒙戈爾菲耶兄弟進行首次氣球飛行的那一年去世。
多產的尤拉很少有不感興趣的數學領域。有人說，他能有多面的天才產出的原因之一是政治，或者更準確地說，是避免政治。他曾為俄羅斯帝國葉卡捷琳娜二世的宮廷工作多年，而避免陷入可能造成災難性後果的政治陰謀的一種有效方法，就是忙於數學，以至於沒有人會相信他有任何時間去搞政治。如果他真是這麼做的，那麼許多精彩的發現都得感謝葉卡捷琳娜二世的宮廷。但我傾向於認為，尤拉之所以如此多產，是因為他的頭腦就是這樣的。他創造了大量的數學，因為他做不了別的事。
前人也研究過這個問題。2200多年前，阿基米德研究了浮體的穩定性。1738年，荷蘭數學家丹尼爾·伯努利出版了《流體力學》（Hydrodynamica）一書，其中包含了流體在壓強較低的地方流動得更快的原理。今天，人們經常引用伯努利原理來解釋為什麼飛機會飛：機翼的形狀設計讓空氣沿上表面的流速更快，從而降低壓強併產生升力。這種解釋有點兒過於簡單化，飛行中涉及許多其他因素，但它確實說明了基本數學原理與實際飛機設計之間的密切關係。伯努利把他的原理凝聚在了一個關於不可壓縮流體中速度和壓強的代數方程裡。
1757年，尤拉用他活躍的頭腦研究流體流動，在《柏林科學院論文集》上發表了一篇文章：《流體運動的一般原理》。這是人類首次認真地嘗試用偏微分方程來為流體流動建模。為了將問題限定在合理的範圍內，尤拉做了一些簡化的假設，特別是，他認為流體是不可壓縮的，就像水，而不像空氣，並且黏度為零——沒有黏性。這些假設使他能夠找到一些解，但也使他的方程變得不切實際。對於某些型別的問題，今天人們仍然在使用尤拉方程，但總的來說，它太過簡化，沒有太大實際用途。
兩位科學家提出了一個更接近現實的方程。克勞德–路易·納維（Claude-Louis Navier）是法國工程師和物理學家，喬治·加布裡埃爾·斯托克斯（George Gabriel Stokes）是愛爾蘭數學家和物理學家。納維在1822年推匯出了一個黏性流體流動的偏微分方程組；二十年後，斯托克斯就這個主題發表文章。由此得到的流體流動模型現在被稱為“納維–斯托克斯方程”（通常使用複數，即Navier-Stokes equations，因為方程是用向量表示的，所以它有幾個分量）。這個方程非常準確，以至於現在工程師經常使用計算機求解，而不是在風洞中進行物理測試。這種技術被稱為計算流體力學（CFD），現在已成為涉及任何流體流動的問題的標準：太空梭的空氣動力學、一級方程式賽車和日常乘用車的設計，以及人體內的血液迴圈或人造心臟。
我們有兩種方式來思考流體的幾何。一種是跟蹤單個微小流體粒子的運動，看看它們往哪裡去；另一種是關注這些粒子的速度：它們在任何瞬間運動的快慢和方向。兩種方法密切相關，但除了數值近似外，這種關係很難釐清。尤拉、納維和斯托克斯的一個重要見解，是認識到如果從速度入手的話，一切都看起來簡單得多。流體的流動最好用速度場來理解：它在數學上描述了從空間一點到另一點，以及從一個時刻到另一個時刻，速度如何變化。於是尤拉、納維和斯托克斯寫下了描述速度場的方程，這樣就可以計算流體的實際流動模式，至少是達到良好的近似。
納維–斯托克斯方程的形式如下：
其中是流體密度， 是其速度場，是壓強，是應力，代表體積力——在整個區域內而不僅僅是在表面作用的力。點乘是對向量的運算，是偏導數的表示式，即
這個方程是從基礎物理學匯出的。與波動方程一樣，關鍵的第一步是應用牛頓第二運動定律，將流體粒子的運動與作用於其上的力關聯起來。主要的力是彈性應力，它主要由兩部分構成：由流體黏度引起的摩擦力，以及壓強的影響，無論是正（壓縮）還是負（稀薄）。其中還存在體積力，來自流體粒子本身的加速。結合所有這些資訊，就匯出了納維–斯托克斯方程，它可以被看作在這一特定背景下動量守恆定律的描述。其背後的物理學是無可挑剔的，該模型也足夠現實，能夠包含大多數重要因素，這就是它為什麼能夠很好地適應現實。像所有傳統的經典數學物理方程一樣，它是一個連續模型：它假設流體是無限可分的。
這可能是納維–斯托克斯方程與現實脫節的關鍵，但只有當運動涉及單個分子規模的快速變化時才會出現差異。這種小規模的運動在一個關鍵的背景——湍流下十分重要。如果你開啟水龍頭讓水慢慢流出，水會形成順滑的細流。然而如果把水龍頭完全開啟，你往往會得到一股洶湧而翻騰著泡沫的水。類似的泡沫流動也會發生在河流的急流中。這種效應被稱為“湍流”，經常乘飛機飛行的人很清楚它在空氣中發生時的影響：感覺飛機好像正在一條顛簸的道路上行駛。
納維–斯托克斯方程解起來很困難。在真正快速的計算機被髮明出來之前，這個方程實在是太難解了，導致數學家們被迫採取了各種捷徑和近似方法。但是如果你想想真正的流體可以做什麼，它應該很難。你只需要觀察溪流中流動的水，或拍打海灘的海浪，就會知道流體可以以極其複雜的方式流動。有漣漪和渦流、波浪和漩渦，還有像塞文河大潮這樣迷人的景觀，當潮水湧入時，一堵水牆會衝入英格蘭西南部的塞文河河口。流體流動的模式已成為無數數學研究的源泉，但該領域最大、最基本的問題之一仍然沒有答案：是否存在數學上的保證，確保納維–斯托克斯方程的解真的存在，而且對未來所有時間都成立？任何能夠解決該問題的人都會獲得百萬美元的獎金，這是美國克雷數學研究所七個千禧年大獎難題之一，這些難題代表我們這個時代最重要的未解決的數學問題。對於二維流，答案是“是的”，但沒有人知道三維流的答案。
儘管如此，納維–斯托克斯方程提供了一個有用的湍流模型，因為分子非常小。寬幾毫米的湍流漩渦已經體現了湍流的許多主要特徵，而分子比它小得多，因此連續模型仍然適用。湍流引發的主要問題是實際的：它導致納維–斯托克斯方程幾乎不可能在數值上解決，因為計算機無法處理無限複雜的計算。偏微分方程的數值解使用網格來將空間劃分為離散區域，將時間劃分為離散時段。為了捕捉湍流發生的各種尺度——大漩渦、中漩渦，直到毫米尺度的漩渦——你需要一個精細到無法計算的網格。出於這個原因，工程師經常轉而使用湍流的統計模型。
納維–斯托克斯方程徹底改變了現代運輸。它最大的影響也許在於客機設計，因為客機不僅必須高效地飛行，而且必須穩定、可靠地飛行。船舶設計也得益於這個方程，因為水是一種流體。但即使是普通的家用汽車，如今也是按照空氣動力學原理設計的，不僅因為這使它們看起來更加優美時尚，而且因為要降低油耗，就得把空氣流過車輛造成的阻力降到最低。減少碳足跡的一種方法是駕駛空氣動力學效率高的汽車。當然還有其他方式，從開更小、更慢的汽車到改用電力發動機，或者乾脆少開車。油耗資料的一些重大改進來自發動機的技術進步，其中一些來自更好的空氣動力學。
在飛機設計的早期階段，先驅們使用粗略的估算、物理直覺和反覆試驗來製造飛機。當你的目標是在離開地面不超過3米的地方飛行100米時，這就足夠了。萊特兄弟的“飛行者一號”第一次正常離開地面，而不是在起飛3秒後失速墜毀的時候，它以低於7英里/小時的速度飛行了120英尺。那一次的飛行員奧維爾設法讓它滯空長達12秒。但是客機的規模迅速增長，這是出於經濟原因：一次飛行中可以裝載的人越多，利潤就越高。很快，飛機設計必須基於更合理、可靠的方法。空氣動力學誕生了，其基本的數學工具就是流體流動方程。由於空氣有黏性，可壓縮，因此納維–斯托克斯方程，或者其適合特定問題的一些簡化版本，就佔據了理論的中心位置。
然而，如果沒有現代計算機，這些方程幾乎是不可能求解的。因此，工程師求助於一種“模擬計算機”：將飛機模型放置在風洞中。人們利用方程的一些一般性質，計算變數如何隨著模型的尺度變化而變化，這種方法快速、可靠地提供了基本資訊。如今，大多數一級方程式賽車隊使用風洞來測試設計並評估可能的改進，但現在計算機的能力是如此強大，以至於大多數車隊也使用CFD。例如，圖10.1顯示了流過寶馬索伯賽車的氣流的CFD計算結果。在我寫這本書的時候，一支名為“維珍賽車”的車隊只使用CFD，但他們明年也會使用風洞。
圖 10.1 流過一級方程式賽車的氣流計算結果
風洞不是很方便；它們的建造和執行成本很高，而且需要許多比例模型。也許最大的困難是在不影響空氣流的情況下精確地測量它。如果你把儀器放在風洞中測量氣壓等引數，那麼儀器本身就會擾亂氣流。也許CFD最大的實際優勢是可以在不影響氣流的情況下計算它。你可能希望測量的任何東西都很容易獲得。此外，你還可以在軟體中修改汽車或元件的設計，這比製作許多不同型號要快捷、便宜得多。不管怎麼說，現代製造過程在設計階段通常都會用到計算機模型。
使用風洞模型研究超聲速飛行（飛行速度比聲速更快）尤其棘手，因為風速非常高。在這樣的速度下，空氣離開飛機的速度比不上飛機推動自身穿過空氣的速度，而這會導致衝擊波——氣壓突然不連續，在地面上會聽到聲爆。這個環境問題是英法合資的“協和式客機”——有史以來唯一投入使用的超聲速商用飛機——運營差強人意的一個原因：除了在海面上之外，不允許它以超聲速飛行。CFD被廣泛用於預測流過超聲速飛機的空氣流。
這個星球上有大約6億輛汽車和數萬架民用飛機，所以即使這些CFD應用看起來很高科技，但它們實際上對日常生活十分重要。CFD的其他一些應用更和人息息相關。例如，醫學研究人員廣泛使用它來了解人體中的血流。心臟病是發達國家人口的主要死亡原因之一，它可能由心臟問題或動脈阻塞引發，後者會阻礙血液流動並導致血栓形成。由於動脈壁是有彈性的，人體血流的數學特別難以用解析方法求解。計算透過剛性管的流體運動已經很困難了，如果這根剛性管還可以根據流體施加的壓強改變形狀，那就更難了，因為現在隨著時間流逝，計算域並不是保持不變的。計算域的形狀影響流體的流動模式，而流體的流動模式又反過來影響域的形狀。紙筆計算無法處理這麼複雜的反饋迴圈。
CFD是這類問題的理想選擇，因為計算機每秒可以執行數十億次計算。方程必須經過修改，以考慮彈性壁的影響，但這主要是從彈性理論中借用必要的原理，而彈性理論是經典連續介質力學的另一個發展完善的分支。例如，瑞士洛桑聯邦理工學院進行了關於血液如何流經主動脈的計算。其結果提供的資訊可以幫助醫生更好地瞭解心血管疾病。
它還幫助工程師開發改進的醫療裝置，如支架——保持動脈開放的小金屬網管。孫契察·查尼奇（SunčicaČanić）使用CFD和彈性性質模型來設計更好的支架，她得出的一個數學定理導致一個設計被拋棄，並提出了更好的設計。這種型別的模型已變得非常準確，導致美國食品藥品監督管理局考慮要求任何設計支架的團隊得先做數學建模，然後才能進行臨床試驗。數學家和醫生正在聯手使用納維–斯托克斯方程來更好地預測心臟病發作的主要原因並加以治療。
另一個相關的應用是心臟旁路手術，即把身體其他部位的靜脈移植到冠狀動脈中。移植物的幾何形狀對血流影響很大，而這又反過來影響凝血——血流中有漩渦時更有可能發生，因為血液可能被困在渦流中而無法正常迴圈。所以我們在這裡就能看到，流體的幾何與潛在的醫學問題之間有了直接的聯絡。
納維–斯托克斯方程還有另外一個應用：氣候變化，也稱為全球變暖。氣候和天氣相關，但不一樣。天氣是在特定時間、特定地點發生的。可能倫敦下雨，紐約下雪，撒哈拉沙漠裡像烤爐一樣。天氣的不可預測性可謂臭名昭著，這有很好的數學原因。然而，許多不可預測性源於空間和時間的小規模變化，也就是細節。如果電視天氣預報員預報你的鎮上明天下午會有陣雨，結果下雨的時間晚了六小時，下在20千米外的地方，那麼他會認為他報得挺準，你卻非常不滿意。氣候是天氣的長期“紋理”——在經過長期（可能是數十年）平均後，降雨和溫度的表現如何。由於氣候會平均掉這些差異，聽上去有些矛盾的是，因此它其實更容易預測。困難仍然很大，許多科學文獻都在研究可能的誤差來源並試圖改進模型。
氣候變化是一個具有政治爭議的問題，儘管科學界極為一致地認為，過去一個世紀左右的人類活動導致了地球的平均溫度上升。到目前為止，這種增長聽起來很小，在20世紀大約為0.75攝氏度，但氣候對全球規模的溫度變化非常敏感。它們往往使天氣變得更加極端，乾旱和洪澇更加普遍。
“全球變暖”並不意味著各處的溫度都會出現相同的微小變化。相反，它在不同地點、不同時刻會有很大的波動。2010年，英國經歷了31年來最寒冷的冬季，引得《每日快報》印出頭條標題“他們依然聲稱這是全球變暖”。然而在全球範圍內看來，2010年打平了2005年作為全球有史以來最熱的一年的紀錄。1所以“他們”是對的。事實上，寒流是由高空急流改變位置引起的，它把冷空氣從北極推向南方，而這是因為北極異常溫暖。倫敦市中心兩週的霜凍並不能否認全球變暖。奇怪的是，同一份報紙報道2011年復活節是有史以來最熱的一次，但與全球變暖無關。那一次他們倒是正確區分了氣候和天氣。這種選擇性標準真的很有意思。
同樣，“氣候變化”並不僅僅意味著氣候正在發生變化。由於火山灰和火山氣體、地球繞太陽執行的軌道的長期變化，甚至是印度洋與亞歐板塊相撞創造了喜馬拉雅山脈，不需要人類幫忙，氣候變化就發生過多次，主要是在很長的時間尺度上。就目前的討論而言，“氣候變化”指的是“人為氣候變化”——人類活動引起的全球氣候變化。主要原因是產生兩種氣體：二氧化碳和甲烷。它們是溫室氣體：會吸收來自太陽的輻射（熱量）。基礎物理學告訴我們，大氣中含有的這些氣體越多，吸收的熱量就越多；雖然地球確實會把一些熱量散發掉，但總的來說，地球會變暖。根據這一理論，人們在20世紀50年代預測到全球變暖，而預測的溫度升高值與觀察到的基本一致。
二氧化碳含量急劇增加的證據有許多來源。最直接的是冰芯。當雪落在極地地區時，它會堆積在一起形成冰，最新的雪在頂部，最老的雪在底部。冰會吸收空氣，並且冰裡面的普遍條件使得這些氣體在很長一段時間內幾乎保持不變，原始的空氣在裡，最新的空氣在外。小心操作，人們可以非常準確地測量被吸收的空氣的成分，並確定被吸收的時間。在南極洲進行的測量顯示，在過去的10萬年中，大氣中的二氧化碳濃度幾乎保持不變——除了在過去的200年裡猛增了30%。過量二氧化碳的來源可以從碳–13（碳的同位素之一）的比例推斷出來。到目前為止，人類活動是可能性最大的解釋。
懷疑論者之所以還有那麼一丁點兒微弱的依據，主要是因為氣候預測的複雜性。這必須使用數學模型來計算，因為它是關於未來的。沒有模型可以包含現實世界的每一個特徵，即使有這樣的模型，你也永遠無法解出它的預測結果是什麼，因為沒有計算機可以模擬它。模型與現實之間的每一個差異，無論多麼微不足道，都是懷疑論者喜聞樂見的。對於氣候變化可能帶來的影響，或者我們應該採取什麼措施來減輕氣候變化，意見分歧的空間當然存在。但是把頭埋在沙子裡並不是一個明智的選擇。
氣候的兩個重要方面是大氣和海洋。兩者都是流體，都可以使用納維–斯托克斯方程進行研究。2010年，英國主要的科學資助機構——工程與物理科學研究委員會發布了一份關於氣候變化的檔案，其中專門稱數學是一種統一的力量：“氣象學、物理學、地理學和許多其他領域的研究人員都貢獻了他們的專業知識，但數學是一種統一的語言，可以讓各行各業的人在氣候模型中實現他們的想法。”該檔案還解釋說：“氣候系統的秘密被鎖定在納維–斯托克斯方程中，但它太複雜，無法直接求解。”相反，氣候建模人員使用數值方法計算三維網格點的流體流動，從海洋深處到大氣上層，覆蓋整個地球。網格的水平間距為100千米——任何更小的網格都會使計算變得不切實際。更快的計算機也幫不上太大忙，因此最好的方法是更加努力地思考。數學家正在研究以更有效的方式在數值上解決納維–斯托克斯方程。
納維–斯托克斯方程只是氣候難題的一部分。其他因素包括海洋和大氣內部以及兩者之間的熱流、雲的影響、火山等非人類的影響，甚至是平流層中的飛機排放。懷疑論者喜歡強調這些因素來暗示模型是錯誤的，但是我們知道大多數因素是無關緊要的。例如，每年火山排放的二氧化碳僅佔人類活動產生的二氧化碳的0.6%。所有的主要模型都表明存在嚴重的問題，而且這個問題是人類引發的。現在的關鍵問題是地球將會變暖多少，以及將導致多大程度的災難。由於無法做出完美的預測，因此儘可能完善氣候模型符合每個人的利益，只有這樣，我們才能採取適當的行動。隨著冰川融化，西北航道會在北極冰蓋縮小時開放，而南極冰架正在脫落並滑入海洋。我們再也不能冒險相信，什麼也不用做，一切都會自己好起來了。
文章轉自圖靈編輯部
《數學那些事：偉大的問題與非凡的人》
作者：威廉·鄧納姆
譯者：馮速
