人們在學習電磁波時，必然會接觸到坡印亭向量的概念；坡印亭向量和坡印亭定理幾乎出現在近現代每一本討論電磁學的著作中。但在中文物理學史作品中，鮮有對坡印亭其人和工作的專門介紹。坡印亭是英國物理學家，除了對電磁波的研究，他也在許多其他物理學領域做出了傑出貢獻；他是伯明翰大學首批物理學教授之一，也曾任英國皇家學會副會長、英國物理學會主席等職位，“似乎他並未遠離英國科學界的中心，但是他又確實被此後的科學中心有意無意地忽略了。”
撰文 | 孟醒(吉林大學物理學院)、倪牟翠(吉林大學物理學院)
來源 | 選自《物理》2023年第10期
坡印亭定理和坡印亭向量是反映電磁波傳播特性的重要概念。尤其是坡印亭向量，幾乎出現在近現代的每一本討論電磁學的著作中[1，2]。不過，和這兩個名詞出現的頻繁程度相反，有關坡印亭本人的介紹卻不多見。在傳統的物理學史書籍中，幾乎沒有關於這位物理學家的專門介紹[3—6]。本文主要依據劍橋大學在1920年出版的坡印亭論文集[7]，對這位物理學家的生平和他的科學工作進行介紹，希望能對大學物理教學及中文物理學史內容提供有價值的補充資料。
01
生 平
約翰·亨利·坡印亭於1852年9月9日出生於英格蘭曼徹斯特附近的蒙頓，他的父親是一位牧師，也開辦啟蒙學校，因此坡印亭在父親的學校裡接受了良好的初級教育。1867年他進入曼徹斯特歐文學院，即現在的曼徹斯特大學，學習了數學、科學、文學和邏輯學等課程。1869年坡印亭考入倫敦大學，1872年獲得理學學士學位。同年他獲得獎學金進入劍橋大學三一學院，1876年以當年第三名的成績獲得了劍橋大學的榮譽學士學位。之後，坡印亭回到歐文學院，在B. 斯圖爾特教授的物理實驗室進行實驗演示工作。這期間他認識了當時還是學生的J. J. 湯姆孫，二人結成了一生的摯友。1878年，坡印亭回到劍橋大學，在麥克斯韋主持的卡文迪什實驗室工作。1880年伯明翰梅森學院成立，坡印亭被任命為學院的首批物理學教授之一。他在這一年結婚，此後一直在伯明翰工作。1887年坡印亭獲得劍橋大學理學博士學位。1900年，梅森學院發展成為現在的伯明翰大學，坡印亭當選為理學院院長。
圖1 坡印亭肖像
坡印亭為人正直謙遜，工作能力出色，深受同事和朋友們的愛戴。他一面主持梅森學院實驗室的運轉並籌建新的物理實驗室，一面進行研究，還要不時準備講座，甚至承擔協助市政工作的研究課題。他始終都孜孜不倦、有條不紊地高效工作，因其在許多領域的傑出研究和公共活動而獲得了廣泛的認可。1888年坡印亭被選為英國皇家學會會員，1893年獲得了劍橋大學的亞當斯獎，1903年獲得劍橋哲學學會的霍普金斯獎，1905年坡印亭獲得了英國皇家學會的獎章，以“表彰他在物理科學方面的研究，特別是在引力常數、電動力學和輻射理論方面的研究”。1909年坡印亭擔任皇家學會理事會成員，1910年起擔任副會長。他是1899年在多佛召開的英國科學促進協會A分會的主席，他還於1909年至1911年擔任英國物理學會主席。圖1是懸掛在伯明翰大學圖書館裡的坡印亭肖像，圖2是位於伯明翰大學校園裡的坡印亭物理樓，在紅磚外牆上的藍色圓形銘牌上的文字是：John Henry Poynting，first professor of Physics determined the mass of the earth in Birmingham in 1890.（約翰·亨利·坡印亭，物理學院首位教授，他於1890年在伯明翰確定了地球的質量。）
圖2 伯明翰大學的坡印亭物理樓
坡印亭對運動和自然總是保持著熱情。他對自然史、哲學和心理學都有興趣，還抽出時間擔任和平協會主席、伯明翰園藝協會主席和英國皇家學會氣體安全委員會成員等社會職務。1914年春季，由於流感導致的嚴重的糖尿病發作，坡印亭於這年的3月30日去世。伯明翰大學成立了包括J. J. 湯姆孫和J. 拉莫等物理學家在內的紀念委員會，蒐集整理了坡印亭科學工作文集，於1920年由劍橋大學出版社出版[7]。國際天文學聯合會還將火星上的一個大型隕石坑以坡印亭的名字命名[8]。
02
主要的科學工作
在坡印亭科學工作文集中，一共列出了他四個方面的工作：對萬有引力常數的測量；研究電磁場能量流的特性並提出坡印亭向量和坡印亭定理；對光壓的開創性研究；對物態變化的研究。因其中最後一項更接近化學理論，因此本文僅對前面三個方面的工作進行了介紹。此外，坡印亭還與J. J. 湯姆孫合作出版了一套四卷本的物理學教科書，在英國的大學裡廣受歡迎，一直使用了數十年[9]。
2.1 對萬有引力常數的測量
1877年坡印亭在歐文學院幫助B. 斯圖爾特教授進行演示實驗。他們發現，當使用精確度較高的天平稱量物體時，物體在天平托盤上的放置方式會引起測量結果的改變。比如一個扁平的鉛板，分別採用豎直或水平的方式放置在托盤上，測得的重量就會不同。他們認為產生這類現象的原因是位置的改變導致物體受到的引力發生了變化。根據牛頓的萬有引力定律，任意兩個物體之間都存在引力相互作用，引力的大小與兩個物體質量乘積成正比、與二者之間距離的平方成反比，其比例係數被稱為萬有引力常數。儘管考慮到物體的大小和形狀，實際計算引力會比較複雜，但是有一點是明確的，就是引力的大小與距離的平方有關，這就解釋了位置改變對物體表觀重量的影響。坡印亭由此想到，如果在天平平衡時，在其中一個托盤下方引入另一個大質量物體，則這一側的引力將明顯增加，天平會朝這邊傾斜，這樣，透過測量各個物體的質量及距離，就可以確定萬有引力常數的量值了[10]。
在牛頓提出萬有引力定律時並未給出引力常數的數值。1798年英國科學家H. 卡文迪什利用扭秤進行實驗，首次確定了這個常數值。卡文迪什還由此計算出了地球的平均密度，因此他也被稱為“第一個稱量地球的人”。不過當時測量的精確度並不高，按照卡文迪什的表述，“地球密度是水密度的5.48倍”[11]。在坡印亭計劃測量萬有引力常數的實驗中，所採用方法的新穎之處在於，他不是用專門製作的扭秤而是用普通的天平來進行這項實驗。當然，在真正開始實驗之後，他發現事情也沒那麼簡單。因為引力本身就是一個很微小的效應，實驗中足以影響測量結果的因素太多了！諸如移動物體所產生的氣流、操作天平引起的不穩定性以及溫度溼度變化對材料的影響，都是實驗誤差的來源。不過坡印亭並不氣餒，他以特有的耐心逐個檢查並克服這些誤差源，在1877年發表了初步的結果。為了獲得更好的實驗條件和指導，他把實驗結果提交給劍橋大學三一學院，作為申請研究生的論文。麥克斯韋當時是論文的評審人，他被坡印亭傾注在實驗中的高度耐心和持續毅力所吸引，同時也略帶幽默地感嘆，“英雄實驗的時代還沒有過去!”顯然麥克斯韋認為坡印亭是在延續卡文迪什的事業[10]。在麥克斯韋的支援下，坡印亭獲得了獎學金，進入劍橋大學卡文迪什實驗室。這個實驗室是以前面提到的H. 卡文迪什的後代親屬W. 卡文迪什的名字命名的。麥克斯韋還幫助坡印亭從英國皇家學會獲得了一筆資金，用於專門訂製實驗所需的天平。這個新天平的鋼樑長度大約125 cm，坡印亭在接下來的11年中都使用它做實驗。到1890年，經歷了一系列的改進後，坡印亭發表了他認為滿意的結果，他確定的萬有引力常數值是6.6984×10-8 dyn/(cm2·g2)(dyn，達因，力學單位)。與H. 卡文迪什的結果相對照，坡印亭計算出的地球平均密度數值是5.4934倍水的密度[7]。
坡印亭的這個結果儘管比卡文迪什的精確度要高，但對於人們理解萬有引力定律的幫助意義並不是很大。事實上，在坡印亭發表他的最終結果之前，人們已經發現了扭轉效能更佳的石英纖維，極大地提高了卡文迪什扭秤的精確度，已遠遠超過了坡印亭使用的普通天平。儘管如此，坡印亭在引力常數測量方面所做的工作仍然是卓越的和富有魅力的，他這項研究的意義在於，使人們看到了在科學研究中數學能力、精確的實驗技術和獨創地開發機械功能的價值。
2.2 研究電磁場能量傳輸的特性
1884年，坡印亭根據麥克斯韋的電磁場理論，提出了這樣的問題：電流的能量是如何從一點到另一點傳輸的？或者說，在一個電路中，能量從作為電能和磁能存在的部分，傳輸到它轉變為熱能或其他形式能量的部分，所透過的路徑和遵循的規律是什麼？這個問題是麥克斯韋不曾提及的。可能在坡印亭這篇論文發表之前，人們普遍認為電磁能量是沿著電路中的導線傳輸的，就好像水力透過管道傳輸一樣。然而，當麥克斯韋建立了“位移電流”和“感應電場”這兩個概念之後，表明在電路周圍、沒有導體的空間也存在電磁能量，儘管麥克斯韋給出了計算介質中某個區域的電磁能量密度的方法，但是他並未進一步討論在包含了電路和介質的空間中能量傳輸的特性。坡印亭敏銳地察覺到了這個問題，並就此做出了開創性的工作。
坡印亭在1884年的這篇論文題目為“關於電磁場中的能量傳輸”[7]。在開篇他就說明：“本文的目的是證明能量傳輸存在一個一般規律，根據該規律，任一點的能量傳輸方向垂直於由電力線和磁力線所構成的平面，並且每秒透過該平面單位面積的能量大小等於兩個力的強度之積、再乘以它們夾角的正弦、除以4π，能量的流動方向是，當從電動勢的正方向轉向磁場強度的正方向時右旋螺旋前進的方向。”接下來坡印亭從麥克斯韋對電場和磁場能量密度的定義出發，透過分析位移電流與電動勢的變化關係以及電流產生熱量的焦耳定律，得出這樣的結論：“對於封閉表面內的空間，單位時間內電能的變化、磁能的變化與電路產生熱量的總和，等於表面上由每點電強度和磁強度的值所確定的量值的積分。”
這就是後來被稱為坡印亭定理的最初表述。這實際上也是在包含電磁能量的能量傳輸過程中的能量守恆定律。坡印亭又從數學上證明，按照坡印亭定理，能量的傳輸規律確實如這篇論文開篇所提出的那樣。為了顯示能量的傳輸路徑，坡印亭給出了這個理論在當時已知的各類電磁現象中的應用，它們是：載流直導線的放熱；電容器透過大電阻導體緩慢放電；含電池的電路；熱電電路；帶有電機的電路；感應電流；光的電磁理論。這些例子簡潔明瞭，有效地展示了坡印亭定理和坡印亭向量廣泛的適應性。圖3是坡印亭用來說明電容器放電過程能量傳輸路徑的示意圖。圖中，由兩個導體平板A和B組成的電容器透過一個電阻很大的導體線圈LMN緩慢放電，導線周圍的細曲線代表能量的傳輸路徑，它們都是垂直於導線的，按照坡印亭的說法，能量是從導線的側面進入電路的，而非像人們之前普遍以為的那樣從電荷儲存處沿著導線傳播。
圖3 坡印亭說明電容器放電過程能量傳輸路徑的示意圖
坡印亭向量也稱能流密度向量或能量傳播的功率密度。不過坡印亭本人並沒有給出表示能流密度也即坡印亭向量的符號。1885年，英國物理學家O. 亥維賽將麥克斯韋方程組由20個分量方程的形式改寫為4個向量方程，就如我們現在教科書中出現的形式[12]。1890年電磁波的發現者、德國物理學家赫茲發表了形式更加對稱的、用向量微分表示的麥克斯韋方程組[13]。這些改寫推動了麥克斯韋理論被當時物理學家們理解並接受的程序，人們逐漸開始用向量符號來表達諸如電場強度和磁場強度這樣的物理量。亥維賽本人用大寫字母“W”表示坡印亭向量，他還曾宣稱自己獨立地發現了坡印亭定理，僅比坡印亭的論文稍晚幾個月。到1902年，荷蘭著名物理學家洛倫茲首先在自己的論文中採用向量符號“S”表示坡印亭向量，這也是現代大多數電磁學教材或論文采用的符號[14]。
坡印亭定理已經廣泛應用於電磁波傳播的各類問題中。例如，利用坡印亭定理計算天線的電磁增益和損耗情況，以便設計天線效能；在電力裝置和電子器件中，可應用坡印亭定理計算並解決電磁干擾問題；在目前較熱門的光儲存研究中也有這一定理的應用。應該說，坡印亭對麥克斯韋電磁理論所做的研究，推動了這一理論被廣泛接受的程序，他在電磁波傳播領域的工作的份量足以與赫茲、亥維賽和洛倫茲等人的相提並論。
2.3 對光壓的開創性研究
光壓指光照射到物體表面對物體產生的機械壓力。無論是光的微粒說還是波動說理論都可推知光壓的存在。1873年麥克斯韋出版《論電和磁》，其中有一節專門討論了光的電磁理論，並由光的電磁波傳播性質推斷出光壓的存在。麥克斯韋還估算了太陽光照射到地球表面所產生光壓的大小，約為10-7磅每平方英尺，這是一個非常微弱的效應，遠遠小於太陽對地球的萬有引力。
1903年坡印亭在英國《哲學彙刊》上發表了題為“太陽系中的輻射：對溫度的影響和對小天體的壓力”的論文，對麥克斯韋的光壓理論做進一步研究[7]。這篇論文包含兩個部分。在第一部分，坡印亭首先討論瞭如何利用當時已知的輻射定律(斯特藩定律)確定行星表面由於太陽輻射而達到平衡時的溫度，得出了一系列數值結果。接下來他計算了一個可作為黑體的太陽系內小天體，由於吸收太陽輻射而達到的溫度與其到太陽距離的關係，並按照各個行星到太陽距離的形式給出了相應的結果。論文的第二部分，首先用電磁理論計算了太陽光對太陽系內小天體的光壓。例如，他的結果表明，如果一個可作為黑體的小天體與太陽的距離同地球到太陽距離相當，則它由於太陽照射而受到的壓力是每平方釐米10^（-5） dyn。這與麥克斯韋的估算結果一致。
之後，坡印亭開始了一個嶄新的探討。他假定有兩個球形的小天體，存在於太陽系內與太陽一定距離處，因此可以根據論文第一部分的結果計算出它們的表面溫度。按照輻射的斯特藩定律，這兩個小天體相互間也會發出和接收電磁輻射，這種輻射的效果與光壓一致，因此在兩個小天體之間產生相互排斥的作用力。根據它們的表面溫度和相互距離可以計算這種斥力的大小。另一方面，在這兩個小天體之間還存在萬有引力的作用，因此可以比較引力和斥力之間的關係。坡印亭指出，萬有引力和光壓產生的斥力之間的關係受到天體半徑的顯著影響。因為引力由整個天體確定，與半徑的立方成正比，而光壓則由天體受到輻射的表面積確定，因此大致與半徑的平方成正比。這樣，儘管對於較大的天體，光壓產生的效應遠遠小於萬有引力作用，但是對於較小的天體，則可能出現引力與斥力相當的情形。坡印亭作了初步的估算，結果表明，對於到太陽的距離與地球到太陽距離相當的兩個小天體，如果它們的密度是水的密度，則當它們的半徑小於19.6 cm時，它們之間由於(受到陽光照射)相互輻射而產生的斥力將大於它們之間的萬有引力！如果這樣的兩個小天體的密度等於鉛的密度，則相應的半徑是1.78 cm。坡印亭又把這一方法應用到太陽系內可能存在的微小塵埃粒子上，計算這些塵埃受到太陽的萬有引力和光壓力，結果表明，半徑為四萬分之一釐米、密度與地球相當的塵埃粒子，受到的引力與斥力相等，它們既不會被太陽吸引也不會被太陽排斥。最後，坡印亭推測了在與太陽一定距離的軌道上繞行的小天體的行為，結果表明，如果粒子的尺度大於上述量值，例如半徑1 cm的小天體，則它受到太陽的引力將大於斥力，並且在繞行運動中角動量逐漸減小，最終被吸入太陽；另一方面，對於更小的塵埃粒子，太陽的光壓將它們越推越遠，最終在太陽系的邊緣形成巨大的塵埃環。
坡印亭關於光壓的研究是開創性的。此後，隨著光的量子論的誕生，光壓的研究獲得了豐富的進展。儘管如此，坡印亭在1903年和此後幾年裡所做的工作，仍然應該被認為是光輻射理論的奠基工作，他提出的思想方法大多經受住了時間的檢驗。坡印亭關於太陽系軌道中小天體行為的預測，後來由美國物理學家H. P. 羅伯遜修正，現在被稱為坡印亭—羅伯遜效應。
03
評價和疑惑
坡印亭在物理學的多個領域做出了出色的工作，他的研究嚴謹細緻，又富於創新，有很多成為了相應領域的奠基工作。坡印亭無疑是一位卓越的物理學家。有關坡印亭向量和坡印亭定理的內容幾乎出現在每一本電磁學著作中，與這一現象形成明顯反差的是，在這些電磁學著作以及我們所看到的物理學史的專門教材中，都找不到關於坡印亭生平的介紹，這是令人困惑的。坡印亭和電子的發現者J. J. 湯姆孫是關係密切的好友，當坡印亭在曼徹斯特的歐文學院做物理實驗助教時，湯姆孫還是這裡的學生。後來到1899年，人們在實驗中獲得了電子單獨存在的證據，這證實了湯姆孫在1897年發現電子的理論。1899年英國科學促進協會的年會在英國的多佛召開，湯姆孫在A分會(數理分會)的會議上宣佈了這個實驗結果，當時坡印亭正在擔任這個A分會的主席[7]。看起來似乎他並未遠離英國科學界的中心，但是他又確實被此後的科學中心有意無意地忽略了。
參考文獻
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本文經授權轉載自微信公眾號“中國物理學會期刊網”，原標題《坡印亭和他的科學工作》
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