近藤老師不僅在課堂中教授數學知識，還會讓學生自己進行思考，讓學生真正理解這些知識。教育一詞的英文是 education，德文是 Erziehung，二者的原意都是激發學生的潛能，近藤老師的教育方式正是實現這一理想的典型示例。這一點並不是我在聽老師講課時立刻明白的，當我自己也成為一名數學教育者之後，才漸漸感受到了老師的偉大之處。
近藤鉦太郎老師在當時的舊制第八高等學校的老師中絕對算得上是一位卓越的老師，他也是在艱苦歲月中非常難得的一位老師。跟隨近藤老師學習的學生都對他印象深刻，我想很多人的一生受到了老師的影響。這本紀念文集中，一定寫有很多令我抱有同感的回憶，以及我沒能發現的近藤老師的另一面。作為從八高畢業後選擇走上數學研究道路的人，我在這裡想以近藤老師的教學方式以及他與數學之間的故事為中心，寫一寫對他的回憶。我從近藤老師那裡學到的與其說是數學知識，不如說是對數學研究的態度。這種態度是從近藤老師的課堂和他的話語中流露出來的。
我在 1932 年 4 月進入八高理乙班讀書，近藤老師當時四十歲左右。理科班級中，理乙以德語為第一外語，學生中有一些人後來進入了理學院和工學院，但大部分人去的是醫學院。我希望將來能就讀數學專業，又聽說德國的數學研究水平處於世界前列，因此選擇了理乙。幸運的是，我們那個年級的數學教學是由近藤老師負責的，近藤老師在三年中一直教我們數學。
入學後沒多久，近藤老師在課上發了一張試題紙。不是作業，而是讓我們就上面寫的東西進行思考。我看到內容後吃了一驚。下面我就來講講其中的兩個問題。
一個問題是“指出下面句子中的邏輯錯誤”。
（1）吃得最少的人最餓，最餓的人吃得最多，所以吃得最少的人吃得最多。
（2）你很蠢，因為我只知道你做的蠢事。
當時，我對數學的理解還停留在代數就是精巧地進行計算，幾何就是做好輔助線這種層面。近藤老師給出的題目讓我陷入了沉思。
上面的例子是詭辯，沒有正確的邏輯，那麼詭辯和數學邏輯之間到底有什麼區別呢？這個問題後來我也經常思考，並且得出了這樣的結論：為了使數學的邏輯再接近詭辯也不會成為它，必須從明確的定義出發。
近藤老師不僅在課堂中教授數學知識，還會讓學生自己進行思考，讓學生真正理解這些知識。教育一詞的英文是 education，德文是 Erziehung，二者的原意都是激發學生的潛能，近藤老師的教育方式正是實現這一理想的典型示例。這一點並不是我在聽老師講課時立刻明白的，當我自己也成為一名數學教育者之後，才漸漸感受到了老師的偉大之處。
試題紙上印著的另一個問題是描述√2的定義。√2的值是1.41421356…，之前為了應試，我曾經靠“意思意思而已”這條口訣來記憶，因此被問到定義時不知如何是好。我想過是不是可以將√2定義為平方之後的結果等於 2 的數，但又覺得 √2都沒有明確定義，又如何去求它的平方。想到這裡，我愈發困惑了。
所幸，我在暑假期間閱讀了高木貞治老師的《新式算術講義》，看到裡面戴德金利用分割來定義實數，隱隱約約抓住了定義√2的正確方向。
那頁試題讓我深刻感受到了數學必須建立在嚴密的邏輯上。
大家都說近藤老師的數學課太難。在高二的微分學課程中，為了嚴密定義極限值，我們按照正規的順序，從關於自然數的皮亞諾公理出發定義有理數，然後作為其分割來定義實數。這樣的教學內容就算放在大學數學專業的課程中也會令初次聽講的學生煩惱，更不要說放在高中課堂上了。但是近藤老師進行了嘗試，並在極短的時間裡將課程講完了。
雖然我之前在高木老師的著作中看到過這部分內容，但當時花了很長時間才明白其邏輯脈絡，至於為什麼要那樣處理，我並不明白。然而，近藤老師在課上用隻言片語就解開了我的疑惑，令我體會到了恍然大悟的暢快感。
有時，近藤老師會故意在課上跳過細節部分的推論，學生之後向他詢問時他才會詳細說明。有一次我去近藤老師家中問問題，他對我說：“在上課時我故意講錯這裡。這個錯誤在一本非常有名的書中也出現過。你注意到了嗎？”我其實並沒有注意到，因此感到難為情，這種心情至今我都記得。
近藤老師出的試題總是很難，頗令學生們煩惱。現在回想起來，不應該說難，而應該說是別具一格。大多數老師出的試題只要使用學過的定理就能解出，但近藤老師出的試題並非如此，必須從本質上理解定理的證明才能解出來。
舉個簡單例子。比如“求在和為 50 的兩個數中乘積最大的兩個數”這樣的問題，只要應用“如果兩個數的和為確定的值，則兩個數相等時乘積最大”這個定理，就能知道這兩個數都是 25。但近藤老師會把問題改成“求和為 50 的互質的兩個數中，乘積最大的兩個數”這樣的形式。用之前的定理得到的25 和 25 並不互質，但仔細看前面定理的證明，就會發現它是以“兩數之積是兩數之和的平方與兩數之差的平方的差的四分之一”這一事實為基礎的。因此，在這個例子中和是 50，兩數的差越小，兩數的積就越大。兩數的差為 0（25、25）或 2（24、26）時，兩數不互質，所以不行，但差為 4（23、27）時就可以了。
給很多“工具箱”準備定理並巧妙運用它們是最近數學使用者們的做法。與此相對，從證明中抓住數學定理的本質並發現新的定理，進而創造出新的理論，則是數學家的工作。近藤老師作為數學研究者進行授課，無論是授課內容還是習題都與普通的數學教學截然不同，令我十分佩服。
近藤老師的親屬們說他沒有留下任何遺作。我想，恐怕近藤老師曾多次提筆，只是頭腦中的想法一個接一個地湧現出來，只好不斷重新開始。普通人覺得差不多就可以了，但近藤老師作為一個完美主義者肯定不會妥協。
從八高畢業後，我曾造訪近藤老師家，那時老師曾透露想寫一本叫作《數理新講》的書，並和我講了內容構想。這本書涵蓋當時高中到大學低年級的數學內容，老師打算根據自己在八高多年的教學經驗，在書中加入獨特的思考。我曾在老師的課堂以及和他的談話中多次聽到在平常的書本中難得一見的具有深度的說明，這在我之後的研究中起到了巨大的作用，所以我期盼著近藤老師的這本著作能儘快完成。
這本書如果能夠出版，我想一定能觸動新制大學教養課程的學生，特別是立志研究數學的學生的心絃，成為一本名作。然而近藤老師幾度提筆，不斷推敲，最終還是沒能完成，實在令人遺憾。
我作為數學研究者生活了五十餘年，能在八高時代的 3 年裡接受近藤老師的教誨，實在是三生有幸。我想再次對近藤老師表示感謝。
回想起每次去近藤老師家中拜訪時接待我的師母的溫柔身影，我最後還想再寫一件事。有一次和近藤老師聊天時，師母端出了茶和剛剛出鍋的豆沙包。近藤老師看都沒看一眼，只顧著說話，我也因為忙著聽老師說話沒能品嚐。就連師母來為我們添茶時，近藤老師也沒停下，於是師母便靜悄悄地將冷掉的茶和豆沙包撤下，過了一會兒，又將熱茶和冒著熱氣的豆沙包端了上來，然後對我說：“快趁熱吃吧。”於是我一邊聽近藤老師說話一邊享用了。那時的豆沙包出奇地好吃。
上文轉自圖靈新知，節選自《世界是機率的》，【遇見數學】已獲轉發許可。
作者：[日] 伊藤清 譯者：劉婷婷
沃爾夫獎、高斯獎得主，現代隨機分析之父 日本數學大家 伊藤清
講述數學思想與方法
激發關於機率與世界的深層
呈現日本數學發展的另類線索
